在本篇文章中，我们将详细解读力扣第218题“天际线问题”。通过学习本篇文章，读者将掌握如何使用扫描线算法和堆来解决这一问题，并了解相关的复杂度分析和模拟面试问答。每种方法都将配以详细的解释，以便于理解。
问题描述
力扣第218题“天际线问题”描述如下：
城市的天际线是从远处观看建筑物形成的轮廓。现在，给你所有建筑物的位置和高度，绘制出它们的天际线。
每个建筑物的几何信息用三元组表示
[left, right, height]，其中left是建筑物的左边缘，right是建筑物的右边缘，height是建筑物的高度。天际线应该表示为由 “关键点” 组成的列表，其中每个关键点是一个二维坐标(x, y)并按照 x 坐标进行排序。关键点是天际线在 x 轴上图形的转折点。注意，最左侧的建筑物可能会影响天际线的高度，而最右侧建筑物可能会影响天际线的高度。示例:
输入: [[2,9,10],[3,7,15],[5,12,12],[15,20,10],[19,24,8]] 输出: [[2,10],[3,15],[7,12],[12,0],[15,10],[20,8],[24,0]]示例:
输入: [[0,2,3],[2,5,3]] 输出: [[0,3],[5,0]]
解题思路
方法：扫描线算法和最大堆
-
初步分析：
- 使用扫描线算法可以有效地处理建筑物的左右边缘，并维护当前的最大高度。
- 通过最大堆来动态维护当前的最高建筑物高度。
-
步骤：
- 将所有的建筑物边缘按照 x 坐标排序，如果 x 坐标相同，按左边缘先于右边缘排序。
- 使用一个最大堆来维护当前的建筑物高度。
- 遍历所有的边缘，更新堆和结果列表。
代码实现
import heapq
def getSkyline(buildings):
events = []
for l, r, h in buildings:
events.append((l, -h, r))
events.append((r, 0, 0))
events.sort()
result = [[0, 0]]
max_heap = [(0, float("inf"))]
for x, neg_h, r in events:
while max_heap[0][1] <= x:
heapq.heappop(max_heap)
if neg_h:
heapq.heappush(max_heap, (neg_h, r))
if result[-1][1] != -max_heap[0][0]:
result.append([x, -max_heap[0][0]])
return result[1:]
# 测试案例
print(getSkyline([[2,9,10],[3,7,15],[5,12,12],[15,20,10],[19,24,8]])) # 输出: [[2,10],[3,15],[7,12],[12,0],[15,10],[20,8],[24,0]]
print(getSkyline([[0,2,3],[2,5,3]])) # 输出: [[0,3],[5,0]]
复杂度分析
- 时间复杂度：O(n log n)，其中 n 是建筑物的数量。排序操作和堆操作的时间复杂度均为 O(n log n)。
- 空间复杂度：O(n)，用于存储事件和堆。
模拟面试问答
问题 1：你能描述一下如何解决这个问题的思路吗？
回答：我们可以使用扫描线算法和最大堆来解决这个问题。通过遍历所有的建筑物边缘，维护一个最大堆来动态更新当前的最高建筑物高度，并在每个关键点记录下当前的天际线高度变化。
问题 2：为什么选择使用扫描线算法和最大堆来解决这个问题？
回答：扫描线算法通过遍历所有的建筑物边缘，可以有效地处理建筑物的左右边缘，并维护当前的最大高度。最大堆可以高效地动态维护当前的最高建筑物高度，从而解决天际线问题。
问题 3：你的算法的时间复杂度和空间复杂度是多少？
回答：算法的时间复杂度为 O(n log n)，其中 n 是建筑物的数量。排序操作和堆操作的时间复杂度均为 O(n log n)。空间复杂度为 O(n)，用于存储事件和堆。
问题 4：在代码中如何处理边界情况？
回答：对于没有建筑物的情况，可以直接返回空列表。通过这种方式，可以处理边界情况。
问题 5：你能解释一下扫描线算法的工作原理吗？
回答：扫描线算法通过遍历所有的建筑物边缘，将其按照 x 坐标排序，并使用最大堆来动态维护当前的最高建筑物高度。在每个关键点记录下当前的天际线高度变化，从而绘制出天际线。
问题 6：在代码中如何确保返回的结果是正确的？
回答：通过遍历所有的建筑物边缘，维护最大堆，并在每个关键点记录下当前的天际线高度变化，确保返回的结果是正确的。可以通过测试案例验证结果。
问题 7：你能举例说明在面试中如何回答优化问题吗？
回答：在面试中，如果面试官问到如何优化算法，我会首先分析当前算法的瓶颈，如时间复杂度和空间复杂度，然后提出优化方案。例如，可以通过减少不必要的操作和优化数据结构来提高性能。解释其原理和优势，最后提供优化后的代码实现。
问题 8：如何验证代码的正确性？
回答：通过运行代码并查看结果，验证返回的天际线是否正确。可以使用多组测试数据，包括正常情况和边界情况，确保代码在各种情况下都能正确运行。例如，可以在测试数据中包含多个不同的建筑物，确保代码结果正确。
问题 9：你能解释一下解决天际线问题的重要性吗？
回答：解决天际线问题在计算几何和图形学中具有重要意义。通过学习和应用扫描线算法和堆，可以提高处理复杂几何问题和动态数据结构的能力。在实际应用中，天际线问题广泛用于城市规划、建筑设计和数据可视化等领域。
问题 10：在处理大数据集时，算法的性能如何？
回答：算法的性能取决于建筑物的数量。在处理大数据集时，通过优化扫描线算法和堆的实现，可以显著提高算法的性能。例如，通过减少不必要的操作和优化堆操作，可以减少时间和空间复杂度，从而提高算法的效率。
总结
本文详细解读了力扣第218题“天际线问题”，通过使用扫描线算法和堆的方法高效地解决了这一问题，并提供了详细的解释和模拟面试问答。希望读者通过本文的学习，能够在力扣刷题的过程中更加得心应手。
